Степень суммы - это математическое выражение, представляющее результат возведения суммы двух или более слагаемых в определенную степень. В алгебре существуют специальные формулы для вычисления степени суммы.
Содержание
Степень суммы - это математическое выражение, представляющее результат возведения суммы двух или более слагаемых в определенную степень. В алгебре существуют специальные формулы для вычисления степени суммы.
Основные формулы степени суммы
| Формула | Выражение |
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Общий случай (бином Ньютона) | (a + b)n = Σ C(n,k)·an-kbk |
Пояснение к формулам
- a и b - любые числа или алгебраические выражения
- n - натуральная степень
- C(n,k) - биномиальные коэффициенты
- Σ - знак суммы от k=0 до n
Примеры вычисления степени суммы
Пример 1: Квадрат суммы
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9
Пример 2: Куб суммы
(2y + 1)³ = (2y)³ + 3·(2y)²·1 + 3·2y·1² + 1³ = 8y³ + 12y² + 6y + 1
Бином Ньютона для степени суммы
Для произвольной натуральной степени n справедлива формула:
(a + b)n = C(n,0)an + C(n,1)an-1b + ... + C(n,n)bn
Где биномиальные коэффициенты C(n,k) можно вычислить:
- По формуле: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
- По треугольнику Паскаля
Свойства степени суммы
- Число слагаемых в разложении всегда равно n+1
- Сумма показателей степеней a и b в каждом слагаемом равна n
- Коэффициенты симметричны относительно центра разложения
- Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n
Применение степени суммы
Формулы степени суммы используются в:
- Алгебраических преобразованиях
- Теории вероятностей
- Комбинаторике
- Математическом анализе
- Физических расчетах
